Standardabweichung Formel
Es gibt zwei Formeln für die Standardabweichung, die sich exakt in einem Zeichen im Nenner unterscheiden. Hier wird jede Teilformel einzeln zerlegt, jede einzelne Rechenvorschrift erklärt und am Beispiel durchgerechnet. Der Rechner weiter unten wendet dieselbe Formel auf Ihre Daten an.
Trennen Sie die Zahlen durch Semikolons, Leerzeichen oder Zeilenumbrüche, oder fügen Sie eine Tabellenspalte ein.
Das Komma ist das Dezimaltrennzeichen (4,5); wenn Sie Werte mit Kommas trennen, setzen Sie danach ein Leerzeichen (4,5, 6,1).
Negative Zahlen sind möglich; schreiben Sie 10:3 für einen Wert, der 3-mal vorkommt.
Hier erscheinen Ihre Ergebnisse: zuerst die Standardabweichung, dann die übrige Zusammenfassung und ein Diagramm.
Standardabweichung (Stichprobe)
2,13809
Ihre Werte liegen typischerweise etwa 2,14 über oder unter ihrem Mittelwert von 5, in denselben Einheiten wie Ihre Daten. 6 von 8 Werten (75 %) liegen zwischen 2,862 und 7,138, also innerhalb einer Standardabweichung um den Mittelwert; bei normalverteilten Daten wären es etwa 68 %.
SD der Grundgesamtheit (σ): 2, wenn diese Werte die gesamte Gruppe sind.
- Anzahl (n)
- 8
- Mittelwert (x̄)
- 5
- Varianz (s²)
- 4,57143
- Standardfehler
- 0,755929
- Minimum
- 2
- Q1 (25 %)
- 4
- Median
- 4,5
- Q3 (75 %)
- 5,5
- Maximum
- 9
- Spannweite
- 7
Weitere Kennzahlen (5)
- Relative SD (%RSD)
- 42,7618%
- Variationskoeffizient
- 0,427618
- Summe (Σx)
- 40
- Quadratsumme, Σ(x − x̄)²
- 32
- IQR (Q3 − Q1)
- 1,5
Verteilung der Daten
Die schattierten Bereiche markieren ±1, ±2 und ±3 SD um den Mittelwert. 6 von 8 Werten (75 %) liegen innerhalb von ±1 SD.
Diagramm als Text
Mittelwert 5, Standardabweichung der Stichprobe s = 2,13809, aus 8 Werten zwischen 2 und 9.
- Innerhalb von ±1 SD (2,862 bis 7,138): 6 von 8 Werten (75 %). Bei normalverteilten Daten etwa 68 %.
- Innerhalb von ±2 SD: 8 (100 %). Bei normalverteilten Daten etwa 95 %.
- Innerhalb von ±3 SD: 8 (100 %). Bei normalverteilten Daten etwa 99,7 %.
Rechenweg Schritt für Schritt anzeigen
Zwei Formeln: Stichprobe und Grundgesamtheit
Standardabweichung der Stichprobe
s = √[ Σ(x − x̄)² ⁄ (n − 1) ]
- s: Standardabweichung der Stichprobe
- x: einzelne Werte; x̄: Stichprobenmittel
- n: Anzahl der Werte; n − 1: Freiheitsgrade
Standardabweichung der Grundgesamtheit
σ = √[ Σ(x − μ)² ⁄ N ]
- σ: Standardabweichung der Grundgesamtheit
- μ: Grundgesamtheitsmittel; N: Größe der Gesamtheit
Beide Formeln werden von innen nach außen gelesen: Mittelwert berechnen, die Distanz jedes Werts zum Mittelwert messen, die Abweichungen quadrieren, den Durchschnitt bilden und dann die Wurzel ziehen. Verwenden Sie die n − 1 Version, wenn Ihre Zahlen eine Teilmenge einer größeren Gruppe sind — in Hausaufgaben beinahe immer der Fall. Die N-Version ist für den Fall gedacht, dass alle relevanten Werte vorliegen.
Jede Variable der Formel
| Symbol | Name | Bedeutung |
|---|---|---|
| x | Wert | Stellt nacheinander für jeden einzelnen Zahlenwert ein. |
| x̄ / μ | Mittelwert | Stichprobenmittel steht x̄ („x-Querstrich“), Grundgesamtheitsmittel μ („Mu“). |
| x − x̄ | Abweichung | Wie weit ein Wert vom Mittel entfernt ist. Negativ bei Werten unter, positiv über dem Mittel. |
| (x − x̄)² | Quadrat der Abweichung | Macht alle Terme nichtnegativ und bestraft Werte mit größerer Entfernung. |
| Σ | Summe | „Summiere all dies“. |
| n − 1 | Freiheitsgrade | Korrektur nach Bessel für die Stichprobe; bei der Grundgesamtheit steht statt dessen N. |
| √ | Quadratwurzel | Bringt den Wert wieder in die ursprüngliche Einheit der Daten zurück. |
Die Notationen σ, s, Sx, μ und Σ sowie das Eintippen finden Sie im englischsprachigen Notationsüberblick (auf Englisch); der Standardabweichungsrechner liefert die Symbole mit Erklärungen direkt im Ergebnis.
Beispielrechnung für beide Varianten
Daten: 2; 4; 4; 4; 5; 5; 7; 9 — der Standard-Textbuchbeispiel, weil die
Grundgesamtheit-Antwort eine ganze Zahl ergibt.
- Summe. 40; Anzahl 8; Mittel x̄ = 40 ÷ 8 = 5.
- Abweichungen. −3; −1; −1; −1; 0; 0; 2; 4.
- Karratierte Abweichungen. 9; 1; 1; 1; 0; 0; 4; 16. Summe Σ(x − x̄)² = 32.
- Grundgesamtheit: 32 ÷ 8 = 4; Wurzel: σ = 2 exakt.
- Stichprobe: 32 ÷ 7 = 4,5714; Wurzel: s ≈ 2,138.
Einziger Unterschied zwischen beiden Antworten: der Nenner, 8 gegenüber 7. Tragen Sie die Zahlen in den Rechner oben ein und wechseln Sie den Modus — Sie sehen, wie sich nur der Nenner ändert.
Formeln zum Kopieren
In Unicode als einzelne Zeilen — geeignet für Word, Google Docs und E-Mail:
s = √(Σ(x − x̄)² / (n − 1))σ = √(Σ(x − μ)² / N)
Für LaTeX (in Google Docs: Einfügen → Formel; in Word: Strg + =)
s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1}}\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \mu)^2}{N}}
Die 68-95-99,7-Regel
Falls Ihre Daten annähernd normalverteilt sind, gibt die Standardabweichung an, welcher Anteil in der Mitte liegt: ±1σ umfasst ca. 68 % der Werte, ±2σ ca. 95 %, ±3σ ca. 99,7 %. Deshalb werden Ausreißer häufig in Standardabweichungen statt in Rohdaten gemessen: ein Wert außerhalb von ±3σ liegt in den äußersten 0,3 %. Das Standardabweichungsdiagramm (auf Englisch) zeigt grafisch, wie gut die Regel auf Ihre Daten passt.
Derselbe Rechenweg in Excel, Python und R
| Tool | Stichprobe (n − 1) | Grundgesamtheit (N) |
|---|---|---|
| Excel / Sheets | STKVERW (STDEV.S) | STKVERW (STDEV.P) |
| NumPy | np.std(a, ddof=1) | np.std(a) |
| R | sd(x) | sd(x) × √((n − 1) ⁄ n) |
Hier liegt die häufigste Fehlerquelle: NumPy nutzt als Vorgabe die Grundgesamtheit-Formel,
pandas R die Stichprobe-Formel. Bei großen Datenkolonnen kommt durch dieselbe Eingabe in
beiden Tools ein unterschiedlicher Wert heraus, wenn Sie ddof nicht explizit
festlegen. Die deutschen Excel-Funktionen heißen STKVERW (Stichprobe) bzw.
STKABG (Grundgesamtheit) — die englischen Namen STDEV.S /
STDEV.P funktionieren dort ebenfalls.
Die Formel für gruppierte Daten
Kommen die Daten als Häufigkeitstabelle, sehen Sie nie die einzelnen Werte, nur dass ein Wert x in f Fällen vorkam. Jedes karratierte Abweichung wird entsprechend gewichtet und die Summe über Σf:
s = √[ Σf(x − x̄)² ⁄ (Σf − 1) ] wobei x̄ = Σfx ⁄ Σf
Das Ergebnis ist eine Näherung, denn jedes Intervall wird am Intervallmittel behandelt — echte Werte sind darüber verteilt. Stark schief verteilte Gruppen geben eine leicht unterteilte Standardabweichung. Der englischsprachige Gruppenrechner (auf Englisch) zeigt die fx- und fx²-Spalten beim Rechnen.
Alle Berechnungen laufen im Browser; Ihre Daten werden nirgendwo übertragen oder gespeichert. Die Formel wird mit dem Welford-Algorithmus berechnet — Methodik (auf Englisch).
Häufige Fragen
Was ist die Formel für die Standardabweichung?
Für eine Stichprobe: s = √[ Σ(x − x̄)² / (n − 1) ]. Für eine
Grundgesamtheit: σ = √[ Σ(x − μ)² / N ]. Beide Formeln unterscheiden
sich nur im Nenner: Die Stichprobe teilt durch n − 1, die Grundgesamtheit durch N.
Warum werden die Abweichungen quadriert?
Weil Abweichungen über und unter dem Mittelwert sich immer zu exakt null aufsummieren: Gemittelt wären sie für jede Datenmenge null. Das Quadrieren macht alle Terme nichtnegativ, sodass sie sich nicht aufheben können. Gleichzeitig gewichtet es große Abweichungen überproportional: eine Abweichung von 10 zählt hundertmal so viel wie eine von 1. Das Quadratwurzelziehen am Ende skaliert das Ergebnis zwar wieder in die ursprüngliche Einheit zurück, aber die Gewichtung bleibt erhalten.
Warum wird bei der Stichprobe durch n − 1 geteilt?
Das Mittelwert einer Stichprobe wird aus eben dieser Stichprobe berechnet und liegt daher den eigenen Daten näher als der wahre Mittelwert der Grundgesamtheit. Die Abweichung ist systematisch zu klein. Die Division durch n − 1 (Korrektur nach Bessel) hebt genau dieses Verzerrung auf. Für große n ist der Unterschied verschwindend gering: bei n = 100 beträgt er 1 %, bei n = 30 noch 3,4 % und bei n = 5 bereits 25 %.
Unterscheidet sich die Formel der Varianz von der der Standardabweichung?
Nur im letzten Schritt: Die Varianz ist alles, was unter der Wurzel steht. Die Standardabweichung ist ihre Quadratwurzel. Ein praktischer Unterschied sind die Einheiten: Varianz wird im Quadrat der Grundgröße angegeben (kg²), Standardabweichung in der Originalgröße (kg).
Welche Formel ist auf dem Computer schneller?
Die „Schnellformel“ s² = [ Σx² − (Σx)²/n ] / (n − 1) ist auf Papier
bequemer, weil sie nur einmal durch die Daten zieht. Auf dem Computer ist sie problematisch:
Sie subtrahiert zwei große, fast gleiche Zahlen und verliert dabei Genauigkeit. Bei Daten
wie 1000000,1; 1000000,2; 1000000,3 kann sie eine negative Varianz
ausgeben. Diese Seite berechnet stattdessen mit dem Welford-Algorithmus über
Abweichungen vom Mittelwert — siehe die
Methodik (auf Englisch).