Формула стандартного отклонения
Формул стандартного отклонения две, и отличаются они ровно одним символом в знаменателе. Ниже каждая разобрана по частям, показано, зачем в ней каждое действие, и прогонено на числах. Калькулятор под текстом считает по тем же формулам на ваших данных.
Разделяйте числа точкой с запятой, пробелами или переносами строк либо вставьте столбец из таблицы.
Десятичный разделитель: запятая (4,5); если разделяете значения запятыми, ставьте после них пробел (4,5, 6,1).
Отрицательные числа допустимы; 10:3 означает значение, которое встречается 3 раза.
Здесь появятся результаты: сначала стандартное отклонение, затем остальная сводка и график.
Стандартное отклонение (выборка)
2,13809
Обычно ваши значения отклоняются от своего среднего (5) примерно на 2,14 в большую или меньшую сторону, в тех же единицах, что и данные. В пределах одного стандартного отклонения от среднего, между 2,862 и 7,138, лежат 6 из 8 (75 %); для нормально распределённых данных около 68 %.
СО генеральной совокупности (σ): 2, если эти значения представляют всю группу.
- Количество (n)
- 8
- Среднее (x̄)
- 5
- Дисперсия (s²)
- 4,57143
- Стандартная ошибка
- 0,755929
- Минимум
- 2
- Q1 (25 %)
- 4
- Медиана
- 4,5
- Q3 (75 %)
- 5,5
- Максимум
- 9
- Размах
- 7
Другие показатели (5)
- Относительное СО (%RSD)
- 42,7618%
- Коэффициент вариации
- 0,427618
- Сумма (Σx)
- 40
- Сумма квадратов, Σ(x − x̄)²
- 32
- IQR (Q3 − Q1)
- 1,5
Распределение данных
Затенённые полосы отмечают ±1, ±2 и ±3 СО от среднего. В пределах ±1 СО лежат 6 из 8 (75 %).
График в виде текста
Среднее 5, выборочное стандартное отклонение s = 2,13809; n = 8, значения от 2 до 9.
- В пределах ±1 СО (от 2,862 до 7,138): 6 из 8 (75 %). Для нормальных данных около 68 %.
- В пределах ±2 СО: 8 (100 %). Для нормальных данных около 95 %.
- В пределах ±3 СО: 8 (100 %). Для нормальных данных около 99,7 %.
Показать решение по шагам
Две формулы: выборочная и генеральная
Выборочное стандартное отклонение
s = √[ Σ(x − x̄)² ⁄ (n − 1) ]
- s: стандартное отклонение выборки
- x: отдельное значение; x̄: выборочное среднее
- n: объём выборки; n − 1: число степеней свободы
Генеральное стандартное отклонение
σ = √[ Σ(x − μ)² ⁄ N ]
- σ: стандартное отклонение совокупности
- μ: генеральное среднее; N: объём совокупности
Чтение обеих формул одинаковое, от центра наружу: найдите среднее, измерьте, насколько каждое значение от него отстоит, возведите отклонения в квадрат, усредните и извлеките корень. Если перед вами выборка из более крупной группы (почти всегда в учебных задачах) — формула с n − 1. Если перед вами вся интересующая группа целиком — формула с N.
Каждый символ формулы
| Символ | Название | Что делает |
|---|---|---|
| x | Значение | По очереди стоит за каждое число в данных. |
| x̄ / μ | Среднее | Выборочное среднее пишут x̄ («x-счерка»), генеральное μ («мью»). |
| x − x̄ | Отклонение | Насколько значение отстоит от среднего: ниже — отрицательное, выше — положительное. |
| (x − x̄)² | Квадрат отклонения | Делает все слагаемые неотрицательными и сильнее штрафует далёкие значения. |
| Σ | Сумма | «Сложить всё это». |
| n − 1 | Степени свободы | Исправление Бесселя для выборки; у совокупности вместо него стоит N. |
| √ | Корень | Возвращает результат в исходные единицы данных. |
О том, как пишутся и произносятся σ, s, Sx и их соседи, — в справке по обозначениям.
Пример расчёта обеими формулами
Данные: 2; 4; 4; 4; 5; 5; 7; 9 — классический учебный набор, потому что генеральная величина получается целым числом.
- Среднее. Сумма 40, значений 8, значит x̄ = 40 ÷ 8 = 5.
- Отклонения. −3; −1; −1; −1; 0; 0; 2; 4.
- Квадраты отклонений. 9; 1; 1; 1; 0; 0; 4; 16. Их сумма Σ(x − x̄)² = 32.
- Генеральная формула. 32 ÷ 8 = 4, корень: σ = 2.
- Выборочная формула. 32 ÷ 7 = 4,5714, корень: s ≈ 2,138.
Единственная разница между двумя ответами — знаменатель: 8 против 7. Вставьте числа в калькулятор и переключите режим: только знаменатель поменяется.
Формулы для копирования
Одной строкой в Unicode — пригодится в Word, Google Docs и в переписке:
s = √(Σ(x − x̄)² / (n − 1))σ = √(Σ(x − μ)² / N)
В LaTeX для редакторов формул (в Google Docs — Вставка → Формула, в Word — Alt + =):
s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1}}\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \mu)^2}{N}}
Правило эмпирических долей: 68, 95, 99,7
Для нормального распределения стандартное отклонение предсказывает, какая доля данных лежит рядом с серединой: ±1σ — около 68 %, ±2σ — около 95 %, ±3σ — около 99,7 %. Поэтому выбросы часто считают в стандартных отклонениях: точка дальше 3σ от среднего попадает в наружные 0,3 % данных. Графически это видно на графике распределения (на английском).
Тот же расчёт в Excel, Python и R
| Инструмент | Выборка (n − 1) | Совокупность (N) |
|---|---|---|
| Excel | ДИСПРЕЖИМВ (STDEV.S) | ДИСПГЕРОМ (STDEV.P) |
| NumPy | np.std(a, ddof=1) | np.std(a) |
| R | sd(x) | sd(x) × √((n − 1) ⁄ n) |
Самая частая причина «несовпадения» ответа в программе — выбор неверного знаменателя по умолчанию: NumPy по умолчанию считает генеральную величину, а pandas R — выборочную. Официальные имена функций в локализованных Excel различаются — ищите через англоязычные STDEV.S / STDEV.P.
Где дальше искать
Веса формул и другие варианты — для группированных данных, среднего абсолютного отклонения и распределений — собраны в англоязычной справке по формулам (на английском). Все вычисления идут в браузере, данные никуда не отправляются.
Частые вопросы
Какая формула стандартного отклонения
Для выборки: s = √[ Σ(x − x̄)² / (n − 1) ]. Для генеральной совокупности:
σ = √[ Σ(x − μ)² / N ]. Обе формулы одинаковы, кроме знаменателя: у выборки
деление на n − 1, у совокупности — на N.
Почему отклонения возводят в квадрат?
Потому что отклонения выше и ниже среднего в сумме всегда равны нулю: в среднем по их знакам разброс всегда получился бы нулевым. Возведение в квадрат делает все слагаемые неотрицательными, и они перестают сокращаться. Дополнительно оно усиливает влияние далёких отклонений — далёкое вдвое значение даёт в четыре раза больший вклад.
Зачем делить на n − 1, а не на n?
Среднее выборки вычисляется по тем же данным, и потому оно по определению ближе к ним, чем истинное среднее совокупности. Отклонения от него получаются чуть заниженными, и деление на n − 1 (исправление Бесселя) устраняет это систематическое смещение. При больших n разница ничтожна: при n = 100 она 1 %, при n = 30 — 3,4 %, при n = 5 — 25 %.
Чем формула стандартного отклонения отличается от формулы дисперсии?
Дисперсия — это всё, что под корнем; стандартное отклонение — корень из дисперсии. Единственная практическая разница в единицах: дисперсия квадратируется (кг²), а стандартное отклонение остаётся в исходных единицах (кг).
Какая формула быстрее считается на компьютере?
«Быстрая» однопроходная формула s² = [ Σx² − (Σx)²/n ] / (n − 1) на бумаге удобна, но на компьютере вычитает два близких больших числа и теряет точность: на данных вида 1000000,1; 1000000,2; 1000000,3 она может дать нулевую или даже отрицательную дисперсию. Этот сайт считает по отклонениям от среднего алгоритмом Велфорда — см. методологию (на английском).