Калькулятор стандартного отклонения

Что показывает стандартное отклонение

Стандартное (среднеквадратическое) отклонение показывает, насколько в среднем значения отстоят от своего среднего. Маленькое отклонение — данные собраны возле среднего, большое — сильно разбросаны.

Среднее говорит, где находится центр набора чисел, а стандартное отклонение — насколько тесно числа сгрудились вокруг него. У наборов 50; 50; 50 и 0; 50; 100 одинаковое среднее, 50, но у первого стандартное отклонение равно 0, а у второго — 50 (если считать его выборкой). Важное удобство: отклонение измеряется в тех же единицах, что и данные. Если рост записан в сантиметрах, то и СКО получится в сантиметрах, а вот дисперсия будет в квадратных сантиметрах.

Формула

Формул две, и отличаются они только знаменателем: выборочное отклонение делят на n − 1, генеральное — на N.

Остальное совпадает. Каждое отклонение от среднего возводят в квадрат, чтобы отклонения вверх и вниз не погасили друг друга, квадраты складывают, делят сумму, а квадратный корень в конце возвращает результат к исходным единицам. Подробный разбор формулы (на английском) объясняет, зачем нужен каждый шаг.

Пример расчёта по шагам

Допустим, пять раз подряд вы засекали, сколько минут ждёте автобус на остановке: 4; 7; 5; 9; 5. Это лишь пять поездок из множества возможных, то есть выборка.

1. Найдите среднее. (4 + 7 + 5 + 9 + 5) ÷ 5 = 30 ÷ 5 = 6 минут.
2. Вычтите среднее из каждого значения. Отклонения: −2, 1, −1, 3 и −1.
3. Возведите отклонения в квадрат. Получится 4, 1, 1, 9 и 1.
4. Сложите квадраты. Σ(x − x̄)² = 16.
5. Разделите на n − 1 = 4 — это выборочная дисперсия: 16 ÷ 4 = 4.
6. Извлеките корень. s = √4 = 2 минуты.

Если бы эти пять поездок и были всей интересующей вас совокупностью, на пятом шаге вы бы делили на N = 5: дисперсия вышла бы 3,2, а σ = √3,2 ≈ 1,79 минуты. Выборочное отклонение всегда немного больше генерального; при пяти значениях — в √(5 ÷ 4) ≈ 1,12 раза. Проверьте: вставьте эти пять чисел в калькулятор и откройте «Показать решение по шагам».

Выборка или генеральная совокупность?

Главный вопрос: описывают ли ваши данные всю группу целиком или только её часть? Тридцать пациентов в исследовании, пятьсот анкет, неделя замеров — это выборки: по ним вы хотите судить о чём-то большем. Оценки всех учеников класса или продажи за двенадцать месяцев прошлого года — генеральная совокупность, если вас интересуют только эти данные.

На практике правильный ответ гораздо чаще — выборочное отклонение, поэтому калькулятор использует его по умолчанию. Когда программа или задачник пишет просто «стандартное отклонение», обычно имеется в виду именно оно: СТАНДОТКЛОН.В в Excel, sd() в R и s в большинстве учебных задач делят на n − 1. Более подробное сравнение двух формул с разницей в зависимости от объёма выборки (на английском) поможет, если сомнения остались.

Как понимать результат

Читайте отклонение как типичное расстояние до среднего в единицах ваших данных. В примере автобус обычно приходит через 6 минут, плюс-минус примерно 2 минуты.

Если данные распределены примерно нормально, около 68 % значений лежат в пределах одного стандартного отклонения от среднего, около 95 % — в пределах двух и 99,7 % — в пределах трёх. Последнее известно как правило трёх сигм. График калькулятора закрашивает эти полосы на ваших собственных данных и показывает, какая доля действительно попала в первую, — так легко увидеть, похожи ли данные на нормальное распределение.

Само по себе отклонение не бывает «большим» или «маленьким»: всё зависит от того, что вы измеряете. Чтобы сравнить разброс величин разного масштаба, например роста и массы, разделите отклонение на среднее и получите коэффициент вариации — он есть в блоке «Другие показатели».

Типичные ошибки

• Генеральная формула для выборки. Деление на n вместо n − 1 занижает разброс, особенно когда данных мало.
• Путаница дисперсии и отклонения. Дисперсия — это результат до извлечения корня, и измеряется она в квадратных единицах. Если нужна именно она, откройте калькулятор дисперсии.
• Смешанные разделители. Запись 1.250 в одних странах означает тысячу двести пятьдесят, в других — одну целую двадцать пять сотых. Пишите тысячи без разделителя, а запятую используйте только для дробной части.
• Потерянные значения при вставке. Сверьте количество под полем с ожидаемым числом наблюдений: всё, что не является числом, пропускается, и калькулятор пишет об этом над результатом.

Все вычисления выполняются в вашем браузере с двойной точностью; введённые данные никуда не отправляются и не сохраняются. Алгоритм описан в разделе методология (на английском).