Калькулятор стандартного отклонения

Что показывает стандартное отклонение

Стандартное (среднеквадратическое) отклонение показывает, насколько в среднем значения отстоят от своего среднего. При маленьком отклонении данные собраны возле среднего, при большом сильно разбросаны.

Среднее говорит, где находится центр набора чисел, а стандартное отклонение показывает, насколько тесно числа сгрудились вокруг него. У наборов 50; 50; 50 и 0; 50; 100 одинаковое среднее, 50, но у первого стандартное отклонение равно 0, а у второго 50 (если считать его выборкой). Важное удобство: отклонение измеряется в тех же единицах, что и данные. Если рост записан в сантиметрах, то и СКО получится в сантиметрах, а вот дисперсия будет в квадратных сантиметрах.

Формула

Формул две, и отличаются они только знаменателем: выборочное отклонение делят на n − 1, генеральное на N.

Остальное совпадает. Каждое отклонение от среднего возводят в квадрат, чтобы отклонения вверх и вниз не погасили друг друга, квадраты складывают, делят сумму, а квадратный корень в конце возвращает результат к исходным единицам. Подробный разбор формулы (на английском) объясняет, зачем нужен каждый шаг.

Пример расчёта по шагам

Допустим, пять раз подряд вы засекали, сколько минут ждёте автобус на остановке: 4; 7; 5; 9; 5. Это лишь пять поездок из множества возможных, то есть выборка.

1. Найдите среднее. (4 + 7 + 5 + 9 + 5) ÷ 5 = 30 ÷ 5 = 6 минут.
2. Вычтите среднее из каждого значения. Отклонения: −2, 1, −1, 3 и −1.
3. Возведите отклонения в квадрат. Получится 4, 1, 1, 9 и 1.
4. Сложите квадраты. Σ(x − x̄)² = 16.
5. Разделите на n − 1 = 4, получится выборочная дисперсия: 16 ÷ 4 = 4.
6. Извлеките корень. s = √4 = 2 минуты.

Если бы эти пять поездок и были всей интересующей вас совокупностью, на пятом шаге вы бы делили на N = 5: дисперсия вышла бы 3,2, а σ = √3,2 ≈ 1,79 минуты. Выборочное отклонение всегда немного больше генерального; при пяти значениях в √(5 ÷ 4) ≈ 1,12 раза. Проверьте: вставьте эти пять чисел в калькулятор и откройте «Показать решение по шагам».

Выборка или генеральная совокупность?

Главный вопрос: описывают ли ваши данные всю группу целиком или только её часть? Тридцать пациентов в исследовании, пятьсот анкет, неделя замеров это выборки: по ним вы хотите судить о чём-то большем. Оценки всех учеников класса или продажи за двенадцать месяцев прошлого года составляют генеральную совокупность, если вас интересуют только эти данные.

На практике правильным ответом гораздо чаще оказывается выборочное отклонение, поэтому калькулятор использует его по умолчанию. Когда программа или задачник пишет просто «стандартное отклонение», обычно имеется в виду именно оно: СТАНДОТКЛОН.В в Excel, sd() в R и s в большинстве учебных задач делят на n − 1. Более подробное сравнение двух формул с разницей в зависимости от объёма выборки (на английском) поможет, если сомнения остались.

Как понимать результат

Читайте отклонение как типичное расстояние до среднего в единицах ваших данных. В примере автобус обычно приходит через 6 минут, плюс-минус примерно 2 минуты.

Если данные распределены примерно нормально, около 68 % значений лежат в пределах одного стандартного отклонения от среднего, около 95 % в пределах двух и 99,7 % в пределах трёх. Последнее известно как правило трёх сигм. График калькулятора закрашивает эти полосы на ваших собственных данных и показывает, какая доля действительно попала в первую; так легко увидеть, похожи ли данные на нормальное распределение.

Само по себе отклонение не бывает «большим» или «маленьким»: всё зависит от того, что вы измеряете. Чтобы сравнить разброс величин разного масштаба, например роста и массы, разделите отклонение на среднее и получите коэффициент вариации; он есть в блоке «Другие показатели».

Типичные ошибки

• Генеральная формула для выборки. Деление на n вместо n − 1 занижает разброс, особенно когда данных мало.
• Путаница дисперсии и отклонения. Дисперсия это результат до извлечения корня, и измеряется она в квадратных единицах. Если нужна именно она, откройте калькулятор дисперсии.
• Смешанные разделители. Запись 1.250 в одних странах означает тысячу двести пятьдесят, в других одну целую двадцать пять сотых. Пишите тысячи без разделителя, а запятую используйте только для дробной части.
• Потерянные значения при вставке. Сверьте количество под полем с ожидаемым числом наблюдений: всё, что не является числом, пропускается, и калькулятор пишет об этом над результатом.

Все вычисления выполняются в вашем браузере с двойной точностью; введённые данные никуда не отправляются и не сохраняются. Алгоритм описан в разделе методология (на английском).