Standart sapma hesaplama

Standart sapma neyi ölçer?

Standart sapma, verilerin ortalamadan tipik olarak ne kadar uzaklaştığını gösterir. Küçükse değerler ortalamanın çevresinde toplanmıştır; büyükse geniş bir aralığa yayılmıştır.

Ortalama, bir sayı kümesinin merkezinin nerede olduğunu söyler; standart sapma ise değerlerin bu merkezin çevresinde ne kadar sıkı ya da dağınık durduğunu. 50; 50; 50 ile 0; 50; 100 kümelerinin ortalaması aynıdır, 50’dir. Ama ilkinin standart sapması 0, ikincisinin ise (örneklem olarak) 50’dir. Üstelik standart sapma verilerle aynı birimdedir: boyları santimetre olarak ölçtüyseniz sonuç da santimetre çıkar. Birimi santimetrekare olan varyansta (İngilizce) durum böyle değildir.

Standart sapma formülü

İki sürümü vardır ve yalnızca paydaları farklıdır. Örneklem standart sapması n − 1’e, anakütle standart sapması N’ye böler.

Geri kalan her şey aynıdır. Her sapmanın karesi alınır ki ortalamanın üstünde ve altında kalanlar birbirini götürmesin; kareler toplanır, bölünür ve en sonda karekök, sonucu verilerin özgün birimine geri taşır. Her adımın gerekçesini formülün ayrıntılı açıklamasında (İngilizce) bulabilirsiniz.

Adım adım çözülmüş örnek

Bir öğrencinin dönem içindeki altı kısa sınavdan aldığı notlar şöyle olsun: 70; 85; 90; 75; 80; 80. Bu altı sınav, öğrencinin başarısını ölçmek için yapılabilecek pek çok sınavdan yalnızca birkaçıdır; dolayısıyla elimizdeki veri bir örneklemdir.

1. Ortalamayı bulun. (70 + 85 + 90 + 75 + 80 + 80) ÷ 6 = 480 ÷ 6 = 80.
2. Her değerden ortalamayı çıkarın. Sapmalar −10, 5, 10, −5, 0 ve 0’dır.
3. Her sapmanın karesini alın. 100, 25, 100, 25, 0 ve 0.
4. Kareleri toplayın. Σ(x − x̄)² = 250.
5. n − 1 = 5’e bölün ve örneklem varyansını bulun: 250 ÷ 5 = 50.
6. Karekökünü alın. s = √50 ≈ 7,07 puan.

Bu altı not ilgilendiğiniz grubun tamamı olsaydı, 5. adımda N = 6’ya bölerdiniz: varyans 250 ÷ 6 ≈ 41,67 ve σ ≈ 6,45 puan olurdu. Örneklem standart sapması her zaman biraz daha büyük çıkar; altı değerde aradaki oran √(6 ÷ 5) ≈ 1,10’dur. Altı notu hesaplama aracına yapıştırıp «Çözümü adım adım göster» bölümünü açarak sonucu kendiniz doğrulayabilirsiniz.

Örneklem mi, anakütle mi?

Asıl soru şudur: verileriniz tanımlamak istediğiniz grubun tamamı mı, yoksa yalnızca bir parçası mı? Bir klinik çalışmadaki otuz hasta, beş yüz kişilik bir anket ya da bir haftalık ölçümler örneklemdir, çünkü bunlarla daha büyük bir grup hakkında bir şey söylemek istersiniz. Bir sınıftaki tüm öğrencilerin notları veya bir şirketin geçen yılki on iki aylık satışları, yalnızca o verilerle ilgileniyorsanız anakütledir.

Uygulamada doğru cevap, sanıldığından çok daha sık örneklem formülüdür; hesaplama aracının varsayılan olarak onu kullanmasının nedeni de budur. Bir program ya da ders kitabı yalnızca «standart sapma» diyorsa neredeyse her zaman bunu kasteder: Excel’de STDSAPMA.S, R’de sd() ve sınavların çoğundaki s n − 1’e böler. Örneklem büyüklüğüne göre farkın nasıl değiştiğini gösteren daha ayrıntılı bir karşılaştırma (İngilizce) de var.

Sonuç nasıl yorumlanır?

Standart sapmayı, verilerinizin biriminde ortalamaya olan tipik uzaklık olarak okuyun. Örnekte öğrencinin notları 80 civarında toplanıyor ve bir sınavdan diğerine tipik olarak 7 puan kadar yukarı ya da aşağı oynuyor.

Veriler yaklaşık olarak normal dağılıyorsa değerlerin %68’i ortalamadan en fazla bir standart sapma, %95’i iki standart sapma, %99,7’si üç standart sapma uzaktadır. Hesaplama aracındaki grafik bu bantları kendi verilerinizin üzerinde gölgeler ve ilk banda gerçekte ne kadarının düştüğünü yazar; böylece verilerinizin normal dağılıma ne kadar benzediğini görebilirsiniz.

Bir standart sapma kendi başına «yüksek» ya da «düşük» değildir; neyi ölçtüğünüze bağlıdır. Boy ve kilo gibi farklı ölçeklerdeki verilerin dağılımını karşılaştırmak için standart sapmayı ortalamaya bölün ve değişim katsayısını kullanın. Hesaplama aracı bunu «Diğer istatistikler» bölümünde gösterir.

Sık yapılan hatalar

• Örneklemde anakütle formülünü kullanmak. n − 1 yerine n’ye bölmek, özellikle az sayıda veriyle, yayılımı olduğundan küçük gösterir.
• Varyans ile standart sapmayı karıştırmak. Varyans, karekök alınmadan önceki sonuçtur ve birimi karedir. Sonuç beklediğinizden çok büyükse büyük ihtimalle varyansa bakıyorsunuzdur.
• Ayırıcıları karıştırmak. 1.250 Türkiye’de bin iki yüz elli, İngilizce kaynaklarda bir virgül yirmi beş demektir. Binlikleri ayırıcısız yazın, virgülü yalnızca ondalık için kullanın.
• Yapıştırırken değer kaybetmek. Kutunun altındaki değer sayısının beklediğiniz sayıyla aynı olduğunu kontrol edin; sayı olmayan girdiler atlanır ve sonucun üstünde belirtilir.

Tüm hesaplamalar tarayıcınızda çift duyarlıkla yapılır; yazdığınız hiçbir şey gönderilmez veya saklanmaz. Kullanılan algoritma yöntem sayfasında (İngilizce) ayrıntılı olarak anlatılıyor.