표준편차 계산기

표준편차는 무엇을 나타낼까

표준편차는 데이터가 평균에서 보통 얼마나 떨어져 있는지를 나타내는 값입니다. 작으면 값들이 평균 근처에 모여 있고, 크면 넓게 흩어져 있다는 뜻입니다.

평균은 자료의 중심이 어디인지 알려 주고, 표준편차는 그 중심 주변에 값들이 얼마나 촘촘하게 또는 넓게 퍼져 있는지 알려 줍니다. 50, 50, 50과 0, 50, 100은 평균이 똑같이 50이지만, 앞의 자료는 표준편차가 0이고 뒤의 자료는 (표본으로 보면) 50입니다. 또 표준편차는 데이터와 단위가 같습니다. 키를 센티미터로 쟀다면 표준편차도 센티미터로 나옵니다. 단위가 제곱센티미터가 되는 분산(영어)과 다른 점입니다.

표준편차 공식

공식은 두 가지이고 분모만 다릅니다. 표본표준편차는 n − 1로, 모표준편차는 N으로 나눕니다.

나머지 과정은 같습니다. 평균보다 큰 쪽과 작은 쪽의 편차가 서로 상쇄되지 않도록 각 편차를 제곱하고, 모두 더한 다음 나누고, 마지막으로 제곱근을 취해 원래 단위로 되돌립니다. 각 단계가 왜 필요한지는 공식 자세히 보기(영어)에서 설명합니다.

예제로 한 단계씩 계산하기

일주일 중 엿새 동안 잔 시간을 기록했더니 6.5, 7, 8, 5.5, 7.5, 7.5시간이었다고 해 봅시다. 앞으로도 계속 이어질 수많은 밤 가운데 엿새만 뽑아 본 것이므로 이 데이터는 표본입니다.

1. 평균을 구합니다. (6.5 + 7 + 8 + 5.5 + 7.5 + 7.5) ÷ 6 = 42 ÷ 6 = 7시간.
2. 각 값에서 평균을 뺍니다. 편차는 −0.5, 0, 1, −1.5, 0.5, 0.5입니다.
3. 편차를 제곱합니다. 0.25, 0, 1, 2.25, 0.25, 0.25.
4. 제곱한 값을 모두 더합니다. Σ(x − x̄)² = 4.
5. n − 1 = 5로 나눕니다. 표본분산은 4 ÷ 5 = 0.8입니다.
6. 제곱근을 취합니다. s = √0.8 ≈ 0.89시간, 약 54분입니다.

만약 이 엿새가 관심 있는 전부라면 5단계에서 N = 6으로 나눕니다. 그러면 분산은 4 ÷ 6 ≈ 0.67, σ ≈ 0.82시간이 됩니다. 표본표준편차는 언제나 모표준편차보다 조금 크며, 값이 6개일 때는 √(6 ÷ 5) ≈ 1.10배입니다. 여섯 개 값을 계산기에 붙여 넣고 ‘풀이 과정 단계별로 보기’를 열면 같은 결과를 직접 확인할 수 있습니다.

표본일까, 모집단일까

핵심 질문은 하나입니다. 내 데이터가 설명하려는 집단 전체인가, 아니면 그 일부인가? 임상시험 참가자 30명, 설문 응답 500건, 일주일 동안의 측정값은 표본입니다. 이 데이터로 더 큰 집단에 대해 말하려 하기 때문입니다. 반면 한 반 학생 전원의 점수나 작년 열두 달의 매출은, 그 데이터 자체에만 관심이 있다면 모집단입니다.

실제로는 표본표준편차가 정답인 경우가 생각보다 훨씬 많고, 그래서 이 계산기도 표본을 기본값으로 씁니다. 프로그램이나 교과서에서 그냥 ‘표준편차’라고 하면 대개 표본표준편차를 뜻합니다. 엑셀의 STDEV.S, R의 sd(), 대부분의 시험 문제에 나오는 s는 모두 n − 1로 나눕니다. 표본 크기에 따라 두 값의 차이가 어떻게 달라지는지는 표본과 모집단 표준편차 비교(영어)에 정리되어 있습니다.

결과를 해석하는 방법

표준편차는 데이터와 같은 단위로 나타낸 ‘평균에서의 전형적인 거리’로 읽으면 됩니다. 예제에서는 하루 수면 시간이 평균 7시간 안팎이고, 보통 하루에 50분 남짓 늘거나 줄어든다고 해석할 수 있습니다.

데이터가 정규분포에 가깝다면 값의 약 68%가 평균에서 1 표준편차 이내에, 약 95%가 2 표준편차 이내에, 99.7%가 3 표준편차 이내에 들어옵니다. 계산기의 그래프는 이 구간을 내 데이터 위에 색으로 표시하고, 첫 번째 구간에 실제로 몇 퍼센트가 들어갔는지 알려 주므로 데이터가 정규분포와 얼마나 비슷한지 가늠할 수 있습니다.

표준편차 자체에는 ‘크다’, ‘작다’의 절대 기준이 없고, 무엇을 측정했느냐에 따라 달라집니다. 키와 몸무게처럼 단위나 규모가 다른 자료의 퍼짐을 비교하려면 표준편차를 평균으로 나눈 변동계수를 쓰세요. 계산기의 ‘추가 통계량’에서 볼 수 있습니다.

자주 하는 실수

• 표본인데 모표준편차 공식을 쓰는 경우. n − 1 대신 n으로 나누면 특히 데이터가 적을 때 퍼짐을 실제보다 작게 추정합니다.
• 분산과 표준편차를 헷갈리는 경우. 분산은 제곱근을 취하기 전의 값이고 단위가 제곱입니다. 결과가 예상보다 훨씬 크다면 분산을 보고 있을 가능성이 큽니다.
• 천 단위 쉼표를 넣는 경우. 쉼표는 값을 나누는 구분자로 읽히므로 1,250은 1과 250이 됩니다. 큰 수는 쉼표 없이 1250으로 입력하세요.
• 붙여 넣다가 값이 빠지는 경우. 입력 칸 아래에 표시되는 값의 개수가 예상한 개수와 같은지 확인하세요. 숫자가 아닌 항목은 제외되고, 결과 위에 따로 안내됩니다.

모든 계산은 브라우저 안에서 배정밀도로 이루어지며, 입력한 내용은 전송되거나 저장되지 않습니다. 사용한 알고리즘은 계산 방법(영어) 페이지에서 자세히 설명합니다.