Standardabweichungsrechner

Was misst die Standardabweichung?

Die Standardabweichung gibt an, wie weit die Werte typischerweise von ihrem Mittelwert entfernt liegen. Ist sie klein, liegen die Werte dicht am Durchschnitt; ist sie groß, streuen sie stark.

Der Mittelwert sagt, wo die Mitte einer Datenreihe liegt, die Standardabweichung, wie eng oder weit die Werte darum verteilt sind. Die Reihen 50; 50; 50 und 0; 50; 100 haben beide den Mittelwert 50, doch die erste hat die Standardabweichung 0 und die zweite 50 (als Stichprobe gerechnet). Praktisch ist außerdem, dass sie dieselbe Einheit hat wie die Daten: Messen Sie Körpergrößen in Zentimetern, ist auch die Standardabweichung in Zentimetern angegeben. Bei der Varianz (auf Englisch) ist das nicht so, sie steht in Quadratzentimetern.

Die Formel

Es gibt zwei Varianten, die sich nur im Nenner unterscheiden. Die Stichprobenstandardabweichung teilt durch n − 1, die Populationsstandardabweichung durch N.

Alles andere ist gleich: Jede Abweichung wird quadriert, damit sich Werte ober- und unterhalb des Mittelwerts nicht gegenseitig aufheben. Die Quadrate werden addiert und geteilt, und die Wurzel bringt das Ergebnis am Ende zurück in die ursprüngliche Einheit. Die ausführliche Herleitung der Formel (auf Englisch) begründet jeden Schritt.

Rechenbeispiel Schritt für Schritt

Eine Abfüllanlage soll Packungen mit 500 g Mehl füllen. Bei einer Kontrolle wiegen Sie sechs Packungen: 502; 498; 505; 497; 503; 501 Gramm. Die sechs Packungen stehen für die gesamte Produktion, sind also eine Stichprobe.

1. Mittelwert berechnen. (502 + 498 + 505 + 497 + 503 + 501) ÷ 6 = 3006 ÷ 6 = 501 g.
2. Mittelwert von jedem Wert abziehen. Die Abweichungen sind 1, −3, 4, −4, 2 und 0.
3. Abweichungen quadrieren. 1, 9, 16, 16, 4 und 0.
4. Quadrate addieren. Σ(x − x̄)² = 46.
5. Durch n − 1 = 5 teilen, das ergibt die Stichprobenvarianz: 46 ÷ 5 = 9,2.
6. Wurzel ziehen. s = √9,2 ≈ 3,03 g.

Wären diese sechs Packungen die ganze Grundgesamtheit, würden Sie in Schritt 5 durch N = 6 teilen: Die Varianz wäre dann etwa 7,67 und σ = √7,67 ≈ 2,77 g. Die Stichprobenversion fällt immer etwas größer aus; bei sechs Werten um den Faktor √(6 ÷ 5) ≈ 1,10. Zur Kontrolle können Sie die sechs Gewichte in den Rechner einfügen und „Rechenweg Schritt für Schritt anzeigen“ öffnen.

Stichprobe oder Grundgesamtheit?

Entscheidend ist die Frage: Sind Ihre Daten die ganze Gruppe, die Sie beschreiben wollen, oder nur ein Teil davon? Dreißig Patienten einer Studie, fünfhundert Fragebögen oder eine Woche Messwerte sind Stichproben, weil Sie damit etwas über eine größere Gruppe aussagen wollen. Die Noten aller Schüler einer Klasse oder die Umsätze der zwölf Monate des Vorjahres sind eine Grundgesamtheit, sofern Sie sich nur für genau diese Werte interessieren.

In der Praxis ist die Stichprobenformel viel häufiger die richtige, als man denkt, deshalb ist sie im Rechner voreingestellt. Wenn ein Programm oder eine Klausuraufgabe einfach von „Standardabweichung“ spricht, ist fast immer sie gemeint: STABW.S in Excel, sd() in R und das s in den meisten Lehrbüchern teilen durch n − 1. Einen ausführlicheren Vergleich mit dem Unterschied je nach Stichprobengröße gibt es auf Englisch.

Das Ergebnis richtig deuten

Lesen Sie die Standardabweichung als typischen Abstand zum Mittelwert, in der Einheit Ihrer Daten. Im Beispiel wiegt eine Packung im Schnitt 501 g und weicht typischerweise um etwa 3 g nach oben oder unten ab.

Sind die Daten annähernd normalverteilt, liegen rund 68 % der Werte innerhalb einer Standardabweichung um den Mittelwert, etwa 95 % innerhalb von zwei und 99,7 % innerhalb von drei. Das Diagramm im Rechner zeichnet diese Bänder über Ihre eigenen Daten und zeigt, welcher Anteil tatsächlich im ersten Band liegt. So sehen Sie, ob Ihre Daten einer Normalverteilung ähneln.

Eine Standardabweichung ist nicht an sich „hoch“ oder „niedrig“, das hängt davon ab, was Sie messen. Um die Streuung von Daten mit unterschiedlichen Größenordnungen zu vergleichen, etwa Körpergröße und Gewicht, teilen Sie durch den Mittelwert und nutzen den Variationskoeffizienten, den der Rechner unter „Weitere Kennzahlen“ anzeigt.

Häufige Fehler

• Die Populationsformel auf eine Stichprobe anwenden. Wer durch n statt durch n − 1 teilt, unterschätzt die Streuung, vor allem bei wenigen Werten.
• Varianz und Standardabweichung verwechseln. Die Varianz ist das Ergebnis vor dem Wurzelziehen und hat die quadrierte Einheit.
• Trennzeichen mischen. 1.250 ist im Deutschen tausendzweihundertfünfzig, in englischen Programmen aber eins Komma zwei fünf. Schreiben Sie Tausender ohne Punkt und verwenden Sie das Komma nur für Nachkommastellen.
• Werte beim Einfügen verlieren. Prüfen Sie, ob die Anzahl unter dem Eingabefeld der Zahl der erwarteten Werte entspricht; Einträge, die keine Zahlen sind, werden übersprungen und über dem Ergebnis gemeldet.

Alle Berechnungen laufen in Ihrem Browser mit doppelter Genauigkeit; nichts, was Sie eingeben, wird übertragen oder gespeichert. Die Methodik (auf Englisch) beschreibt den Algorithmus.