Калькулятор дисперсии

Что такое дисперсия

Дисперсия — это средний квадрат отклонения значений от их среднего. Она показывает, насколько сильно разбросаны данные: чем больше дисперсия, тем дальше значения в целом от среднего.

Слово происходит от латинского dispersio, «рассеяние». Если все числа одинаковы, рассеяния нет и дисперсия равна нулю; каждое значение, отстоящее от среднего, увеличивает её, причём далёкие значения — непропорционально сильно, ведь отклонение возводится в квадрат. Выброс вдвое дальше от среднего добавляет вчетверо больше.

Формулы выборочной и генеральной дисперсии

Для генеральной дисперсии есть и равносильная «короткая» формула, знакомая по курсу теории вероятностей: D(X) = M(X²) − (M(X))², то есть среднее квадратов минус квадрат среднего. Её удобно применять на бумаге, но при больших числах она теряет точность, поэтому калькулятор считает по отклонениям от среднего.

Пример расчёта

На почте взвесили пять посылок: 2,5; 3; 2; 3,5; 4 кг. Считаем, что это выборка из всех посылок за день.

1. Среднее. (2,5 + 3 + 2 + 3,5 + 4) ÷ 5 = 15 ÷ 5 = 3 кг.
2. Отклонения от среднего. −0,5; 0; −1; 0,5; 1.
3. Квадраты отклонений. 0,25; 0; 1; 0,25; 1.
4. Сумма квадратов. Σ(x − x̄)² = 2,5.
5. Делим на n − 1 = 4. s² = 2,5 ÷ 4 = 0,625 кг².

Если эти пять посылок и есть вся совокупность, делим на N = 5 и получаем σ² = 0,5 кг². Короткая формула даёт то же самое: средний квадрат (6,25 + 9 + 4 + 12,25 + 16) ÷ 5 = 9,5, минус квадрат среднего 3² = 9, итого 0,5. Выборочная дисперсия больше генеральной ровно в n ⁄ (n − 1) = 5 ⁄ 4 = 1,25 раза.

Дисперсия и среднеквадратическое отклонение

Квадратный корень из дисперсии — это среднеквадратическое, или стандартное, отклонение. В примере s = √0,625 ≈ 0,79 кг, а σ = √0,5 ≈ 0,71 кг. Обе величины описывают один и тот же разброс, но отклонение выражено в килограммах и его легко сопоставить с данными: «посылка весит 3 кг, плюс-минус примерно 0,8 кг». О дисперсии в 0,625 кг² так не скажешь.

Зачем тогда дисперсия? Она лучше ведёт себя в формулах. Дисперсия суммы независимых величин равна сумме их дисперсий, на ней построены дисперсионный анализ (ANOVA, на английском), метод наименьших квадратов и коэффициент детерминации. Поэтому в отчётах обычно пишут стандартное отклонение, а в вычислениях работают с дисперсией.

Когда делить на n − 1, а когда на n

Делите на n − 1, если данные — часть большей группы и по ним вы судите о целом: опрос, партия деталей на контроле, серия лабораторных измерений. Выборочное среднее всегда ближе к своим же данным, чем истинное среднее, и сумма квадратов получается чуть меньше, чем должна. Деление на n − 1 (поправка Бесселя) устраняет это смещение. Делите на n, если перед вами вся совокупность, которая вас интересует, и обобщать ничего не нужно. Если сомневаетесь, выбирайте выборку: при сотнях значений разница всё равно исчезающе мала.

Типичные ошибки

• Выдать дисперсию за отклонение. Число 0,625 в примере — это кг², а не кг. Если в задаче спрашивают СКО, не забудьте извлечь корень.
• Перепутать терминологию учебника. Проверьте, что в вашем задачнике называется «выборочной» дисперсией: с делением на n или на n − 1.
• Сложить отклонения без квадратов. Сумма отклонений от среднего всегда равна нулю — это хорошая проверка промежуточного шага, но не дисперсия.
• Округлять среднее слишком рано. Округлённое среднее искажает все отклонения сразу. Калькулятор округляет только для отображения.

Вычисления идут в браузере, данные никуда не отправляются. Подробности алгоритма — в разделе методология (на английском).