Calculadora de varianza

¿Qué es la varianza?

La varianza es la media de los cuadrados de las desviaciones respecto a la media. Cuanto más alejados están los datos de su promedio, mayor es la varianza; si todos los valores son iguales, vale cero.

Es la medida de dispersión sobre la que se construye casi toda la estadística inferencial: el análisis de la varianza, la regresión, los intervalos de confianza y las pruebas t la usan por dentro. Su inconveniente es que se expresa en unidades al cuadrado, por eso para describir datos se prefiere su raíz cuadrada, la desviación estándar.

La fórmula de la varianza

Hay dos fórmulas, y la única diferencia está en el denominador.

El numerador, Σ(xᵢ − x̄)², se llama suma de cuadrados. Se elevan al cuadrado las desviaciones porque, sin hacerlo, las positivas y las negativas se anularían y la suma daría siempre cero.

Ejemplo resuelto

Una frutería pesa cinco sandías elegidas al azar de un palé: 2,5; 3,0; 4,5; 3,5; 1,5 kg. Como son unas pocas de todo el palé, se trata de una muestra.

1. Media. (2,5 + 3,0 + 4,5 + 3,5 + 1,5) ÷ 5 = 15 ÷ 5 = 3 kg.
2. Desviaciones. −0,5; 0; 1,5; 0,5 y −1,5.
3. Cuadrados. 0,25; 0; 2,25; 0,25 y 2,25.
4. Suma de cuadrados. Σ(x − x̄)² = 5.
5. Divide entre n − 1 = 4. s² = 5 ÷ 4 = 1,25 kg².

La desviación estándar es √1,25 ≈ 1,12 kg: una sandía típica se aparta algo más de un kilo del peso medio. Si esas cinco sandías fueran todas las que te interesan, dividirías entre N = 5 y la varianza poblacional sería 1 kg² (σ = 1 kg). Pega los cinco pesos en la calculadora y abre el procedimiento para ver la misma tabla.

Varianza muestral o poblacional

Pregúntate si tus datos son todos los casos que quieres describir. Si lo son (las notas de los 25 alumnos de tu clase, las ventas de los 12 meses de un año cerrado), usa la poblacional. Si son una parte con la que quieres sacar conclusiones sobre algo mayor (una encuesta, un lote de control de calidad, unas mediciones de laboratorio), usa la muestral.

Dividir entre n − 1 corrige un sesgo: la media muestral está siempre más cerca de sus propios datos que la media real de la población, así que la suma de cuadrados sale algo más pequeña de lo que debería. Con cinco datos, la varianza muestral es un 25 % mayor que la poblacional; con 200, la diferencia es de medio punto porcentual. Si no sabes cuál usar, la muestral es la opción por defecto de la calculadora, de Excel (VAR.S) y de la mayoría de los libros.

Cómo interpretar la varianza

Por sí sola, la varianza sirve sobre todo para comparar. Dos máquinas que llenan botellas de 1 litro con varianzas de 4 ml² y 25 ml² tienen desviaciones estándar de 2 y 5 ml: la segunda es dos veces y media más irregular. La varianza tiene además una propiedad muy útil: las varianzas de variables independientes se suman, cosa que no ocurre con las desviaciones estándar. Por eso aparece en el cálculo de errores, en carteras de inversión y en el diseño de experimentos.

Errores frecuentes

• Olvidar elevar al cuadrado. La suma de las desviaciones sin elevar es siempre 0.
• Dar la varianza en las unidades de los datos. Si los datos están en kg, la varianza está en kg².
• Usar N con una muestra pequeña. Subestima la variabilidad real.
• Separadores mezclados. Escribe 1250 y no 1.250, y usa la coma solo para los decimales; separa los valores con punto y coma o con saltos de línea.

¿Necesitas antes el promedio de una tabla de frecuencias? Usa la calculadora de media. Para sucesos y azar, la calculadora de probabilidad. Hay además una comparación detallada entre varianza y desviación estándar (en inglés). Todos los cálculos se hacen en tu navegador; los datos no se envían a ningún servidor.