Estadística
Calculadora de media aritmética
Calcula la media aritmética de una lista de números, de una tabla de frecuencias o de datos agrupados en intervalos, por el método que te pida tu libro. Elige el tipo de datos y el método, escribe los valores con coma decimal y la calculadora construye la tabla y la sustitución paso a paso.
Sepáralos con punto y coma, espacios o saltos de línea. La coma es el separador decimal.
Déjalo en blanco para usar el valor central o la marca de clase central.
Déjalo en blanco para usar la amplitud de clase o el mayor número que divide todas las desviaciones.
La media es el punto de equilibrio: las barras a cada lado de la línea roja marcada x̄ se equilibrarían, contando cada uno según su frecuencia. A es la media supuesta de la que parte el método abreviado.
| Clase | Marca de clase x | f | d = x − 25 | u = d ÷ 10 | fu |
|---|---|---|---|---|---|
| 0–10 | 5 | 5 | −20 | −2 | −10 |
| 10–20 | 15 | 8 | −10 | −1 | −8 |
| 20–30 | 25 | 15 | 0 | 0 | 0 |
| 30–40 | 35 | 16 | 10 | 1 | 16 |
| 40–50 | 45 | 6 | 20 | 2 | 12 |
| Σ | 50 | 10 |
Ver el procedimiento paso a paso
Calcula la marca de clase de cada intervalo: (límite inferior + límite superior) ÷ 2.
0–10 → (0 + 10) ÷ 2 = 5 10–20 → (10 + 20) ÷ 2 = 15 20–30 → (20 + 30) ÷ 2 = 25 30–40 → (30 + 40) ÷ 2 = 35 40–50 → (40 + 50) ÷ 2 = 45
Suma las frecuencias.
N = 50
Toma una media supuesta A = 25 (la marca de clase central) y un factor común h = 10 (la amplitud de clase). Calcula cada desviación por pasos u = (x − A) ÷ h.
Multiplica cada u por su frecuencia y suma (columna fu).
Σfu = 10
Multiplica por h y suma A.
x̄ = A + (Σfu ÷ N) × h = 25 + (10 ÷ 50) × 10 = 25 + 2 = 27
Comprobación por el método directo: Σfx ÷ N = 1350 ÷ 50 = 27. Con datos agrupados se supone que los valores de cada clase están en su marca de clase, así que el resultado puede diferir un poco de la media de los datos originales.
¿Qué es la media aritmética?
La media aritmética es la suma de todos los datos dividida entre el número de datos. Es el «promedio» de toda la vida y el punto de equilibrio del conjunto: las distancias de los valores que quedan por encima se compensan exactamente con las de los que quedan por debajo.
Esa idea de equilibrio es la que dibuja el gráfico de la calculadora: si cada dato fuera una pesa colocada sobre una regla, la regla se sostendría justo en la media. Por eso un solo valor muy alejado la desplaza tanto, y por eso conviene mirar también la mediana cuando hay datos atípicos.
Fórmulas según el tipo de datos
Datos sin agrupar
x̄ = Σx ⁄ n
- n: número de datos
Tabla de frecuencias o datos agrupados
x̄ = Σfx ⁄ N
- x: cada valor o marca de clase; f: su frecuencia
- N = Σf: frecuencia total
Con datos agrupados, x es la marca de clase, el punto medio de cada intervalo: (límite inferior + límite superior) ÷ 2. Los métodos abreviados reescriben la misma fórmula: x̄ = A + Σfd ÷ N con d = x − A, o x̄ = A + (Σfu ÷ N) × h con u = (x − A) ÷ h.
Ejemplo resuelto con datos agrupados
Cincuenta alumnos anotan cuántos minutos dedican a los deberes. Las clases son 0–10, 10–20, 20–30, 30–40 y 40–50, con frecuencias 5, 8, 15, 16 y 6: es la tabla que trae cargada la calculadora.
- Marcas de clase. 5, 15, 25, 35 y 45.
- Frecuencia total. N = 5 + 8 + 15 + 16 + 6 = 50.
- Método directo. Σfx = 25 + 120 + 375 + 560 + 270 = 1350, y x̄ = 1350 ÷ 50 = 27 minutos.
- Método de desviación por pasos. Con A = 25 y h = 10 (la amplitud de clase), u vale −2, −1, 0, 1 y 2; Σfu = −10 − 8 + 0 + 16 + 12 = 10, y x̄ = 25 + (10 ÷ 50) × 10 = 25 + 2 = 27 minutos.
Los dos caminos llegan al mismo número, como debe ser. El segundo solo evita multiplicar por 35 o por 45 a mano.
Otro caso, ahora con decimales y el método abreviado: una tabla con valores 1,5; 2,5; 3,5; 4,5 y
5,5 y frecuencias 3, 8, 12, 5 y 2 (N = 30). Tomando A = 3,5, las desviaciones d son −2, −1, 0, 1
y 2, Σfd = −6 − 8 + 0 + 5 + 4 = −5 y x̄ = 3,5 − 5 ÷ 30 ≈ 3,333. Y para una lista
sin agrupar, como 12,5; 15; 17,5; 14; 19; 21,5; 16; 13, basta sumar (128,5) y
dividir entre 8: x̄ = 16,0625.
¿Qué método elegir?
Si usas la calculadora, cualquiera: el resultado es idéntico. El método importa cuando el examen pide uno en concreto o cuando haces las cuentas a mano. El directo es el más transparente y el mejor con pocos datos. El abreviado conviene cuando los valores son grandes (edades de 40 a 70, sueldos). El de desviación por pasos es el más cómodo con intervalos de igual amplitud, porque las u quedan como números enteros pequeños.
Errores frecuentes
- Dividir entre el número de filas en lugar de entre la frecuencia total N.
- Usar el límite inferior de cada clase en vez de la marca de clase.
- Olvidar multiplicar por h al final del método de desviación por pasos.
- Perder el signo de las desviaciones negativas al sumar Σfd o Σfu.
Una vez tengas la media, puedes medir cuánto se alejan los datos de ella con la calculadora de varianza o la calculadora de desviación estándar. Si trabajas con sucesos y azar, prueba la calculadora de probabilidad. Para la mediana y la moda de las mismas tablas, está la calculadora de mediana y moda (en inglés).
Preguntas frecuentes
¿Qué diferencia hay entre el método directo, el abreviado y el de desviación por pasos?
Solo las cuentas. El directo multiplica cada valor por su frecuencia y divide Σfx entre N. El abreviado resta antes una media supuesta A, para que los productos sean más pequeños: x̄ = A + Σfd ÷ N. El de desviación por pasos divide además las desviaciones entre un factor común h: x̄ = A + (Σfu ÷ N) × h. Los tres dan exactamente la misma media; con la tabla de ejemplo de la calculadora, 27.
¿Cambia el resultado si elijo otra media supuesta A?
No. Cualquier A sirve, incluso un número que no esté en los datos. Elegir uno del centro mantiene pequeñas las desviaciones, y por eso los libros toman el valor central o la marca de la clase con mayor frecuencia. Escribe otro A en la calculadora: cambia el procedimiento, no la media.
¿La media de datos agrupados es exacta?
No del todo. Al usar las marcas de clase se supone que los valores de cada intervalo están repartidos alrededor de su punto medio. Si tuvieras los datos originales, su media podría diferir un poco. El error suele ser pequeño cuando las clases son estrechas y hay muchos datos.
¿Media, promedio o media aritmética?
En el lenguaje de cada día «promedio» y «media» significan lo mismo: la suma de los datos dividida entre cuántos hay. «Media aritmética» es el nombre técnico, y sirve para distinguirla de la media geométrica o la armónica, que se calculan de otra forma y con los mismos datos positivos nunca dan un resultado mayor.