Estadística
Calculadora de probabilidad
Introduce P(A) y P(B) y elige cómo se relacionan los dos sucesos: la calculadora obtiene la probabilidad de la unión, de la intersección, de «ninguno», de «exactamente uno» y las condicionadas, con un diagrama de Venn. También calcula la probabilidad de que algo ocurra al menos una vez en varios intentos.
Decimal, fracción o porcentaje: 0,5, 1/2 o 50 %.
Por ejemplo, 1/6 para sacar un seis con un dado.
| Suceso | Fórmula | Probabilidad | % |
|---|---|---|---|
| A y B | P(A∩B) | 0,2 | 20 % |
| A o B | P(A) + P(B) − P(A∩B) | 0,7 | 70 % |
| Solo A | P(A) − P(A∩B) | 0,3 | 30 % |
| Solo B | P(B) − P(A∩B) | 0,2 | 20 % |
| Exactamente uno | P(A∪B) − P(A∩B) | 0,5 | 50 % |
| Ninguno | 1 − P(A∪B) | 0,3 | 30 % |
| A dado B | P(A∩B) ÷ P(B) | 0,5 | 50 % |
| B dado A | P(A∩B) ÷ P(A) | 0,4 | 40 % |
Ver el procedimiento paso a paso
Intersección (ocurren los dos).
Sucesos independientes: P(A∩B) = P(A) × P(B) = 0,5 × 0,4 = 0,2
Unión por la regla de la suma: se suman las dos y se resta la parte común, que se ha contado dos veces.
P(A∪B) = 0,5 + 0,4 − 0,2 = 0,7
Complementos.
P(A′) = 1 − 0,5 = 0,5; P(B′) = 1 − 0,4 = 0,6 P(ninguno) = 1 − P(A∪B) = 1 − 0,7 = 0,3
Exactamente uno de los dos.
P(exactamente uno) = P(A∪B) − P(A∩B) = 0,7 − 0,2 = 0,5
Probabilidades condicionadas.
P(A|B) = P(A∩B) ÷ P(B) = 0,2 ÷ 0,4 = 0,5 P(B|A) = P(A∩B) ÷ P(A) = 0,2 ÷ 0,5 = 0,4
Probabilidad de dos sucesos
La probabilidad de un suceso es un número entre 0 y 1 que mide lo esperable que es: 0 significa imposible y 1, seguro. Con dos sucesos A y B, las preguntas habituales son la probabilidad de que ocurran los dos, de que ocurra al menos uno y de que no ocurra ninguno.
Todas se deducen de tres números: P(A), P(B) y P(A∩B), la probabilidad de que ocurran a la vez. Si los sucesos son independientes, P(A∩B) es el producto P(A) · P(B); si son incompatibles, vale 0; en cualquier otro caso, hay que conocerla.
Las reglas básicas
- Complemento: P(A′) = 1 − P(A). La probabilidad de que algo no ocurra.
- Intersección (A y B): P(A∩B) = P(A) · P(B) si son independientes.
- Unión (A o B): P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B). Se resta la intersección porque, al sumar, la parte común se cuenta dos veces.
- Ninguno: P(ninguno) = 1 − P(A∪B).
- Condicionada: P(A | B) = P(A∩B) ÷ P(B), si P(B) > 0.
- Al menos una vez en n intentos independientes: 1 − (1 − p)ⁿ.
Ejemplos resueltos
1. Unión con sucesos que se solapan
Se saca una carta de una baraja española de 40 cartas. A = «es de oros» (10 cartas) y B = «es una figura», es decir, sota, caballo o rey (12 cartas). Hay 3 figuras de oros, así que P(A∩B) = 3/40. Entonces P(A∪B) = 10/40 + 12/40 − 3/40 = 19/40 = 0,475. Sin restar la intersección saldría 22/40 = 0,55, contando dos veces la sota, el caballo y el rey de oros.
2. Sucesos independientes
Con P(A) = 0,5 y P(B) = 0,4 independientes (los valores de ejemplo de la calculadora), P(A∩B) = 0,5 · 0,4 = 0,2; P(A∪B) = 0,5 + 0,4 − 0,2 = 0,7, y la probabilidad de que no ocurra ninguno es 1 − 0,7 = 0,3.
3. Probabilidad condicionada
En un instituto, el 60 % de los alumnos hace deporte (A), el 50 % toca un instrumento (B) y el 20 % hace las dos cosas. Entre los que tocan un instrumento, la proporción que hace deporte es P(A | B) = 0,2 ÷ 0,5 = 0,4. Al revés, entre los deportistas, la de músicos es P(B | A) = 0,2 ÷ 0,6 ≈ 0,333. Como 0,6 · 0,5 = 0,3 y no 0,2, los dos sucesos no son independientes. Elige «P(A∩B) conocida» en la calculadora y escribe 0,6; 0,5 y 0,2 para comprobarlo.
4. «Al menos uno»
¿Qué probabilidad hay de sacar al menos un seis en cuatro tiradas de un dado? Es más fácil calcular lo contrario: no sacar ningún seis tiene probabilidad (5/6)⁴ ≈ 0,482. Por tanto, P(al menos un seis) = 1 − 0,482 ≈ 0,518, algo más de la mitad. Es la apuesta que, según se cuenta, el caballero de Méré ganaba con regularidad en el siglo XVII.
Errores frecuentes
- Sumar sin restar la intersección cuando los sucesos pueden ocurrir a la vez.
- Multiplicar probabilidades de sucesos que no son independientes. El producto solo vale si uno no influye en el otro.
- Confundir P(A | B) con P(B | A). Suelen ser muy distintas.
- Resultados mayores que 1 o negativos. Indican un error de planteamiento; la calculadora avisa cuando los datos son incompatibles.
Para describir datos numéricos en lugar de sucesos, tienes la calculadora de media, la calculadora de varianza y la calculadora de desviación estándar. Para actualizar una probabilidad con una prueba diagnóstica, usa la calculadora del teorema de Bayes (en inglés).
Preguntas frecuentes
¿Qué diferencia hay entre sucesos independientes y mutuamente excluyentes?
Son casi lo contrario. Dos sucesos son independientes si que ocurra uno no cambia la probabilidad del otro, como sacar cara con una moneda y un seis con un dado; entonces P(A∩B) = P(A) · P(B). Son mutuamente excluyentes (o incompatibles) si no pueden ocurrir a la vez, como sacar un 2 y un 5 en la misma tirada; entonces P(A∩B) = 0. Dos sucesos con probabilidad positiva no pueden ser las dos cosas a la vez.
¿Cómo escribo las probabilidades en la calculadora?
Como prefieras: en decimal con coma (0,25), como fracción (1/4) o
como porcentaje (25 %). Las tres formas se leen igual. El resultado se muestra en
decimal y en porcentaje.
¿Por qué no puedo sumar las probabilidades para «al menos una vez»?
Porque contarías dos veces los casos en que el suceso ocurre más de una vez. Con un dado, sumar 1/6 cuatro veces da 0,667 para «al menos un seis en cuatro tiradas», pero la respuesta correcta es 1 − (5/6)⁴ ≈ 0,518. Con siete tiradas la suma pasaría de 1, lo que es imposible para una probabilidad.
¿Qué significa P(A | B)?
Es la probabilidad condicionada: la probabilidad de A sabiendo que B ya ha ocurrido. Se calcula como P(A∩B) ÷ P(B). No es lo mismo que P(B | A): la probabilidad de que un test salga positivo si tienes una enfermedad no es la probabilidad de tener la enfermedad si el test sale positivo.