표준편차 공식

두 공식: 표본과 모집단

두 공식 모두 안쪽에서 바깥쪽으로 읽습니다: 평균을 구하고, 각 값의 평균에서 벗어난 거리를 잖, 그 거리를 제곱하여 평균하고, 마지막에 제곱근을 취합니다. 더 큰 집단에서 뽑은 표본이면 n − 1 공식을, 전체 집단의 데이터가 그대로라면 N 공식을 사용합니다.

공식의 각 기호

σ, s, Sx, μ, Σ 기호와 입력법에 대해서는 기호 설명(영어)을 참고하고, 한국어 표준편차 계산기 결과는 각 기호를 함께 보여줍니다.

두 방식으로 계산 예제

데이터: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 — 모집단 값이 정수로 나와 교재에 자주 등장하는 예제입니다.

1. 합계와 개수. 합 40, 개수 8 → 평균 x̄ = 40 ÷ 8 = 5.
2. 편차. −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4.
3. 제곱 편차의 합. 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16. 합 Σ(x − x̄)² = 32.
4. 모집단: 32 ÷ 8 = 4 → 제곱근 σ = 2.
5. 표본: 32 ÷ 7 = 4.5714 → 제곱근 s ≈ 2.138.

두 결과의 유일한 차이는 분모입니다: 8 대 7. 데이터를 위 계산기에 넣고 모드를 바꾸면 분모만 바뀜을 확인할 수 있습니다.

복사할 수 있는 공식

Unicode 한 줄 버전 — Word, Google Docs, 이메일에 그대로 사용할 수 있습니다:

• s = √(Σ(x − x̄)² / (n − 1))
• σ = √(Σ(x − μ)² / N)

LaTeX (Google Docs: 삽입 → 수식; Word: Alt + =)

• s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1}}
• \sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \mu)^2}{N}}

68-95-99.7 규칙

데이터가 대략 정규분포를 따를 경우 표준편차는 중심에 가까워지는 데이터의 비율을 예측합니다: ±1σ는 약 68 %, ±2σ는 약 95 %, ±3σ는 약 99.7 %의 값을 포함합니다. 그래서 이상치는 원본 단위보다 표준편차 단위로 표현하는 경우가 많습니다: 평균에서 3σ 이상 벗어나면 데이터의 가장 바깥쪽 0.3 %에 들어갑니다. 표준편차 그래프(영어)는 내 데이터에 이 규칙이 얼마나 맞는지 시각적으로 보여 줍니다.

Excel, Python, R에서 같은 계산

가장 흔한 실수는 각 도구의 기본 모드를 모르고 쓰다 보니 표본과 모집단 값이 서로 달라지는 것입니다. NumPy 기본은 모집단, R의 sd() 기본은 표본입니다. 같은 데이터를 두 도구에 넣고 ddof를 명시하지 않으면 다른 결과가 나올 수 있습니다.

모든 계산은 브라우저에서 이루어지며, 입력한 데이터는 어디에도 전송되지 않습니다. 계산은 웰포드 알고리즘을 사용합니다 — 계산 방법(영어)을 참고하세요.